収穫と蒔いた種と

 2014年11月13日,20世紀最大の数学者とも言えるA.Grothendieckが亡くなった.自分は学生時代吸い込まれるように彼の数学に惹かれた人間の一人であるので思うところが多く,この記事を書くことにした.少し客観性に欠くかもしれないが,個人的な意見だとして了承されたい.

●「収穫と蒔いた種と」
 思えば,自分がGrothendieckという数学者に強い興味を持ったのは彼の著書である「収穫と蒔いた種と」を読んでからだと思う.とても意外なのが,学生の間に(教員の間ですら),あまり読んだ人が居ないという事実だ.というのも仕方ない理由もあり,とにかくなんといっても長い.そして,数学の話もそれなりにするので,それなりに知識がないと何を言っているか分からないという事だ.(自分も数学に関しては理解していないところも多い.)

 その中でGrothendieckが述べている事を簡単にまとめると「彼の数学は彼の弟子たちによって埋葬された」という事だ.彼のこの主張は多くの数学者には「大いなる誤解」であったり,「狂人のたわごと」として受け止められているようだが,自分にはその主張に心あたる事が多くあった事も事実だった.

●topos理論の冷遇
 一つの例を挙げよう.自分はSGA4を読んだとき,強い衝撃を感じたのを覚えている.というのも,まずそれ以前に自分はSGA4は「はじめてtopos理論が導入され,それらを用いてエタールコホモロジー理論を展開したもの」という話を聞いていただけった.それだけに「そこで展開されるtopos理論はまだまだ原石で,粗削りなものだろう」という印象を勝手に抱いていた.

 それが蓋を開けてみると,その完成度はすさまじいものであった.のちにLawvereやJohnstoneなどによって展開されるElementary toposや圏論的論理学との関係に関していえば”Sheaves in Geomery and Logic”や”Topos theory”の方が優れているといえるが,純粋にコホモロジー論などの数論幾何への準備としてのtopos理論は未だにSGA4が最高の本であると思う.

 ここで疑問に感じたのは,なぜ50年前にすでにここまでの完成度を誇っていた数学が,その後ほとんど成長しなかったのかという事だ.例えばこういう話をすると「topos理論は不要だから淘汰された」などという人もいる.しかし,少なくとも自分にはtopos理論は不要か必要か審判が下されるほどの議論は十分にされていなかったように思われる.また,Grothendieckの”Crystals and de Rham cohomology of schemes”においては様々なtoposが定義され,それらにより代数的de Rham cohomologyを様々な異なる形で拡張することに成功している.これほどのポテンシャルを秘めていながら,なぜその後大して研究もされなかったのだろうと自分は疑問を感じざるを得なかった.

●抽象論の冬の時代
 Grothendieckが「埋葬」と主張したのは,(彼が数学界を去ってからの)こういった抽象論への排斥行為のことだ.そして,その排斥に(悪意の有無はさておき)弟子が関与していたのも事実だろう.Grothendieckが最も理解の深い弟子だと認めるDeligneはその後比較的具体性の高い数学に興味を持つようになった.(また,SGA4 1/2にSGA4との優位性として非常にミスリーディングな記述をしたことについてGrothendieckは激怒している.)Giraudも非可換コホモロジーの研究を途中で放棄したように見えるし,Verdierは結局明確な問題点の指摘されていた三角圏の理論を完成させられなかった.

 Grothendieckの指摘するような「Deligneらの悪意」があったかどうかは分からない.しかし少なくとも事実として,Grothendieckの展開した数学はその後不遇の時代を送ったのは確かだと思う.これは弟子たちの技量の問題もあるだろう.結局,topos理論や高次圏の研究がほぼ止まってしまったのも,弟子たちが意図的に放棄した訳ではなく,それほど抽象的な理論を推進する技量のある人物は,Grothendieckしかいなかったからなのではないだろうか.

●「蒔いた種」のその後
 「収穫と蒔いた種と」によると,数学を去ってからもGrothendieckは∞カテゴリー理論などには挑戦していたようだ.Quillenのホモトピー代数やBousfieldの理論などにも興味を示していたように見える.が,現在確認できる限りは彼自身は完成版といえる理論を作り切れなかったようだ.しかし,高次圏の理論が不遇だった時代も,モデル圏やsimplicial setの理論はQuillenやKanやJoyalといった位相幾何学側の数学者の手によって,着々と整備されていた.そして,21世紀に入り,ついに∞カテゴリー理論はJacob Lurieの手によって急速な発展を見せる事となった.

 「LurieはGrothendieckの再来だ」と一部の人は言っているらしい.あくまで個人的な主張だが,彼は「Grothendieckの正統後継者」と言ってもいいと思う.というのも,Lurieの仕事は∞カテゴリーのみならず,∞-topos理論の発展,非可換コホモロジー理論の構築,三角圏の弱点を克服した安定∞カテゴリー理論の構築,導来スキーム,スタックといった,Grothendieckが残した仕事を完遂させるものばかりだからだ.そしてそれらは,Grothendieckが夢見た「代数幾何学と位相幾何学の統合」を実現しているように思われる.実際,最近それらの理論をフルに用いて,位相幾何学に端を発したアイデアを用い,Gaitsgoryとの共同研究で関数体のWeilの玉河数予想を証明したという話もある.

 Grothendieckが存命中にLurieの仕事を知っていたかは分からない.しかし,彼がこれを知れば「ほれみたことか!」と大喜びすると思う.彼の蒔いた種は半世紀の時を経て,ついに収穫の時期を迎えたといおうか.これからまた,一時期は排斥されたGrothendieckの作った様々なアイデアが大活躍する時代が来るかもしれない.そうなれば,失意と共に数学界を去ってしまった彼も報われることだろう.そうあってほしいと思う.

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